"El siglo del genio", llama el autor al siglo pasado: "Si Einstein tuvo éxito 
en transformar el tiempo en espacio, Goedel realizaría un truco aún más mágico: 
él haría desaparecer el tiempo". Y por eso parece que lo quieren hacer desaparecer a él 
y a la historia de las fructíferas, maravillosas, amigables conversaciones que ambos amigos tuvieron en la Universidad de Princeton. Desde esta esquina se recomienda leer
este artículo sobre la realidad.

Goedel y Einstein: amistad y relatividad
Por Palle Yourgrau
Ensayo publicado en The Chronicle Review, suplemento de 
The Chronicle of Higher Education, edición de 17 de diciembre de 2004, 
pp. A9-A10
Traducción de Alberto Loza Nehmad
En el verano de 1942, mientras una jauría de submarinos alemanes merodeaba frente a la costa de Maine, los residentes de la pequeña población costera de Blue Hill se alarmaban ante la vista de una figura solitaria que caminaba recorriendo la costa con las manos entrelazadas a la espalda, encorvado como una coma y con los ojos fijos en el suelo, en un aparentemente interminable paseo de medianoche. Quienes se lo encontraban resultaban impresionados por su muy profundo ceño y su marcado dejo alemán. Las especulaciones locales lo llegaron a hacer un espía alemán que enviaba señales secretas a las naves de guerra enemigas. Sin embargo, el oscuro extranjero no era ningún espía alemán. Era Kurt Goedel, el más grande lógico de todos los tiempos, un faro en el horizonte intelectual de los últimos mil años; además, la presa que buscaba no eran las naves estadounidenses que se dirigían a Gran Bretaña sino más bien la llamada hipótesis del continuo, una conjetura creada por el matemático Georg Cantor acerca del número de puntos que se encuentran sobre una línea.[1]

Kurt Goedel
Goedel se encontraba de vacaciones, hospedado en el Blue Hill Inn con su esposa, Adele, aunque rara vez eran vistos por los demás huéspedes del lugar. Ellos se materializaban para la cena aunque nunca fueron observados realmente comiendo. Para los habitantes locales, el ceño de Goedel revelaba una naturaleza oscura aunque la hospedera viera las cosas de manera diferente. Para ella, ese ceño era la expresión de un hombre perdido en sus pensamientos. Las últimas palabras que él le dirigió, sin embargo, no decidirían el asunto: tiempo después él le envió una carta acusándola de robar la llave de su baúl.

El sitio al que Goedel retornaría durante el otoño no estaba lejos de Blue Hill; se trataba esta vez del prestigioso Instituto para Estudios Avanzados de Princeton. Allí él ya no tendría que caminar solo, levantando las sospechas de los vecinos. Tenía un compañero de paseos, un colega en el instituto y su mejor amigo. No había peligro de que la reputación de Goedel fuera a intimidar a este compañero pues su amigo, otro refugiado de habla alemana con inclinaciones matemáticas, era el más famoso científico de todos los tiempos, Albert Einstein, cuyas propias caminatas meditativas ya irritaban a los residentes de Princeton.

"A la distancia", escribió un biógrafo, "los residentes de Princeton se reían entre dientes, discretamente, acerca del hábito de Einstein de comerse un helado en la calle Nassau mientras caminaba a casa desde Fine Hall, y estaban sorprendidos por sus nada americanas largas caminatas por las calles de Princeton". Ciertamente, hacia el final de su carrera, cuando se encontraba más o menos retirado, Einstein comentaba que su propio trabajo ya no le significaba mucho y que entonces iba a su oficina "solo para tener el privilegio de caminar a casa con Kurt Goedel". Irónicamente, no era el ceñudo Goedel sino su sonriente compañero quien alguna vez había ayudado indirectamente a los submarinos alemanes cuando, durante la Primera Guerra Mundial, a pesar de ser un corajudo y comprometido pacifista, Einstein había ayudado a mejorar los giroscopios usados por la marina alemana. Las investigaciones de Goedel se relacionarían también, al final, con los giroscopios, aunque éstos giraran en el centro del universo, no en las oscuras entrañas de un submarino.

Empujados hacia las costas americanas por la tormenta del nazismo que había agitado Europa en los años treinta, estos dos hombres despertaron en las nuevas playas para encontrarse, náufragos, en el mismo sosegado retiro académico, el Instituto para Estudios Avanzados, el más exclusivo club intelectual en el mundo a cuyos miembros se les asignaba una sola tarea: pensar. No obstante, Goedel y Einstein pertenecían ya a un club aún más exclusivo. Juntos con otro teórico de habla alemana, Werner Heisenberg, eran los autores de los tres más fundamentales resultados científicos del siglo.

El descubrimiento de cada uno de estos hombres, además, establecía una profunda y perturbadora limitación. Le teoría de la relatividad de Einstein fijaba un límite -- la velocidad de la luz -- al flujo de cualquier señal que transportara información. Y al definir el tiempo en términos de mediciones mediante relojes, establecía un límite al tiempo mismo. En adelante, éste ya no sería absoluto, sino limitado o relativo a los marcos de la medición. En la mecánica cuántica, el principio de incertidumbre de Heisenberg establecía un límite sobre nuestro conocimiento simultáneo de la posición y del momento de las partículas fundamentales de la materia. Ésta era no solo una restricción sobre lo que podemos conocer: para Heisenberg, esto significaba un límite a la realidad. Finalmente, el teorema de la incompletitud de Goedel -- "la verdad matemática más significativa del siglo", como fue descrita en una ceremonia en la Universidad de Harvard -- establecía un límite permanente sobre nuestro conocimiento de las verdades básicas de las matemáticas: el conjunto completo de verdades matemáticas nunca será capturado por ninguna lista finita o recursiva de axiomas que sea de una naturaleza completamente formal. Así, ningún artefacto mecánico, ninguna computadora, será capaz jamás de agotar las verdades matemáticas. Se sigue 

Kurt Goedel y Albert Einstein
inmediatamente, como Goedel lo señaló prontamente, que si de alguna manera somos capaces de entender la verdad completa en este dominio, entonces nosotros o nuestras mentes, no somos máquinas ni computadoras.[2] (Esto no les pareció divertido a los entusiastas de la inteligencia artificial.)

Einstein, Goedel y Heisenberg: tres hombres cuyos resultados científicos abrieron nuevos horizontes, paradójicamente, mediante el establecimiento de límites al pensamiento o a la realidad. Juntos, ellos representaron el espíritu de la época, el zeitgeist. Misteriosamente, cada uno de ellos había llegado a una conclusión ontológica acerca de la realidad a través del empleo de un principio epistémico relacionado con el conocimiento. La danza o la dialéctica entre el conocimiento y la realidad -- del límite y de lo ilimitado -- se convertiría en un tema dominante en el siglo XX. Con todo, las relaciones de Goedel y Einstein con su propio siglo fueron más difíciles que las que tuvo Heisenberg.

El espíritu de la época echó raíces de la manera más famosa en la mecánica cuántica. En este punto, Goedel y Einstein se encontrarían en solitaria oposición a Heisenberg, quien, situado en el lado equivocado de la guerra de las naciones, escogió el equipo ganador en las guerras de la física. Heisenberg fue el campeón de la escuela del positivismo, conocida en la mecánica cuántica como la interpretación de Copenhague, en reconocimiento al mentor de Heisenberg, Niels Bohr. Lo que había sido un mero principio heurístico en la relatividad especial de Einstein -- la deducción de la naturaleza de la realidad a partir de limitaciones sobre lo que puede ser conocido -- se convirtió, para Heisenberg, en una suerte de religión, una religión a la que no querían unirse Goedel ni Einstein. Algunos, sin embargo, afirman ver en el teorema de Goedel mismo, un eco del principio de incertidumbre de Heisenberg. Ese grupo no incluía a Goedel.

Einstein mismo, uno de los grandes pioneros de la mecánica cuántica, había conocido e inspirado a Heisenberg en Alemania. En 1911, en Praga, años antes de que Heisenberg apareciera en escena, Einstein en una ocasión señaló a su colega Philipp Frank el asilo mental situado en el parque, bajo su estudio, y expresó, "Aquí ve usted a esa porción de lunáticos a quienes no les importa la teoría cuántica". Según el entender de Einstein, una situación de por sí mala se puso peor después de Heisenberg. En uno de sus primeros encuentros, Heisenberg, a la defensiva contra las arengas de Einstein en contra de la mecánica cuántica, devolvió el ataque: "Cuando objeté que en mi enfoque yo solamente había estado aplicando el tipo de filosofía que él, también, había usado como base de su teoría especial de la relatividad, [Einstein] simplemente respondió: 'Quizá utilicé tal filosofía anteriormente, y la haya escrito, pero de todas maneras no tiene ningún sentido'".

Los dos se separaron antes de la guerra, Einstein emigrando a los Estados Unidos, Heisenberg permaneciendo en Alemania, a la cual permanecería leal hasta el final. En Princeton, Einstein -- pacifista, bohemio, socialista y judío -- era un hombre aparte. Claro que encontró a Goedel, pero permanecieron aislados y solos, entre muchas razones por su oposición a la positivista visión del mundo de Heisenberg, que dominaba la escena intelectual incluso cuando la patria de éste intentaba dominar el mundo. Goedel y Einstein eran no solo ingenieros intelectuales, como habían terminado por serlo muchos de sus camaradas inspirados por el positivismo, sino eran también científicos-filósofos. Irónicamente, mientras sus estrellas empezaban a extinguirse, el solo tamaño de sus respectivas reputaciones los habían convertido en inaccesibles, aunque no entre ambos. "Goedel", escribió el colega de ambos Freeman Dyson, "era el único de nuestros colegas que caminaba y hablaba en iguales términos con Einstein".

Los gustos de ambos, sin embargo, permanecieron distintos. Einstein, violinista, nunca pudo llevar a su amigo a oír a los pares de Beethoven y Mozart. Goedel, a su vez, no tuvo mayor éxito atrayendo a Einstein hacia Blanca Nieves y los siete enanos, su película favorita. La historia, es una pena, no registra cuál de los siete enanos era el favorito de Goedel, aunque sí sabemos por qué prefería los cuentos de hadas: "Solo las fábulas", expresó, "presentan el mundo como debería ser y como si éste tuviera sentido". (Ese sentido, por supuesto, puede ser oscuro. No se conoce si Alan Turing adquirió de Goedel el gusto por Blanca Nieves, mientras visitaba el Instituto en los años treinta, pero algunas personas han oído un eco del lado oscuro de Blanca Nieves en la decisión de Turing de terminar su vida comiendo una manzana envenenada cuando, en recompensa por haber descubierto el código "Enigma" de la marina alemana, el gobierno británico le ordenó recibir inyecciones de hormonas como una "cura" para su homosexualismo.[3])

Einstein, antes de dejar Alemania, ya se había convertido en un refugiado de las matemáticas. Después él diría que no pudo encontrar, en aquel jardín de múltiples senderos, el sendero fundamental. Así, él se dirigió al más terrenal dominio de la física, donde el camino hacia lo esencial era, según lo creía él, más claro. Su desdén por las matemáticas le ganó el sobrenombre de "perro vago", puesto por su maestro Herman Minkowski, quien pronto reformularía la relatividad especial del "perro vago" en su característica forma tetradimensional. "Una vez que empiezas con los cálculos -- solía bromear Einstein -- antes de darte cuenta ya la embarraste".

El rumbo de Goedel, por contraste, iba en la dirección opuesta. Después de haberse hecho amigo de Goedel, Einstein comentaba que se había dado cuenta, por fin, de que en las matemáticas, también, uno podía encontrar un camino hacia lo fundamental. Al hacerse amigo de Einstein, en Goedel volvieron a despertar sus primeros intereses en la física. Durante sus largos caminos a casa de vuelta de la oficina, Einstein, siempre alegre, intentaba levantar los ánimos del sombrío y pesimista Goedel con el recuento de sus últimos descubrimientos en la relatividad general. Lamentablemente, sin embargo, el pesimismo floreció en paranoia. El economista Oskar Morgenstern, de visita un día donde su buen amigo, se conmocionó al encontrar al gran Goedel escondiéndose en el sótano, detrás de la estufa.

De las largas caminatas juntos, de sus interminables discusiones, nacería pronto algo hermoso. El escenario estaba preñado de posibilidades. El tiempo, que se ha mofado de los pensadores desde Platón hasta Kant, pasando por San Agustín, finalmente encontró a alguien de su medida en Einstein. Mientras los submarinos alemanes de su anterior patria estaban acechando a la Flota Aliada, el menos alemán de todos los alemanes se hallaba cazando una presa más elusiva. Hacía unas décadas, él había asombrado al mundo al tener éxito, solo, en capturar y domar al tiempo en las ecuaciones de la relatividad. "Cada muchacho de las calles de Gotinga", escribió su compatriota David Hilbert, "entiende más de geometría tetradimensional que Einstein. No obstante, a pesar de ello, Einstein fue quien hizo el trabajo, no los matemáticos". La relatividad había hecho del tiempo, el más elusivo de los seres, algo manejable y dócil al transformarlo en la cuarta dimensión del espacio o, más bien, del espacio-tiempo relativista. Al compartir con Goedel sus últimos pensamientos acerca del universo de espacio-tiempo de cuatro dimensiones que él mismo había hecho aparecer, Einstein estaba sembrando las semillas de la relatividad en la mente de un pensador que más tarde sería descrito como una combinación de Einstein y Kafka.

Si Einstein tuvo éxito en transformar el tiempo en espacio, Goedel realizaría un truco aún más mágico: él haría desaparecer el tiempo. Habiendo ya remecido hasta sus cimientos al mundo matemático con su teorema de la incompletitud, Goedel apuntó hacia Einstein y la relatividad. Sin pérdida de tiempo, anunció al momento su descubrimiento de nuevas e insospechadas soluciones cosmológicas a las ecuaciones de campo de la relatividad general, soluciones en las que el tiempo sufriría una impresionante transformación. Las matemáticas, la física y la filosofía de los resultados de Goedel eran todos nuevos. En los llamados "Universos Goedel" o "rotativos", esos mundos posibles gobernados por esas nuevas soluciones cosmológicas, resulta que la estructura del espacio-tiempo es tan pronunciadamente curva por la distribución de materia, que existen caminos de naturaleza temporal, sendas dirigidas al futuro por las que una nave espacial, si viaja lo suficientemente rápido -- y Goedel calculó la velocidad precisa y los requerimientos de combustible, omitiendo tan solo el menú de la tripulación --, puede penetrar en cualquier región del pasado, el presente o el futuro.

Goedel, esa combinación de Einstein y Kafka, por primera vez en la historia humana había probado, a partir de las ecuaciones de la relatividad, que el viaje por el tiempo no era la fantasía de un filósofo sino una posibilidad científica. No obstante, nuevamente de alguna manera él se las había arreglado, desde el corazón mismo de las matemáticas, para dejar caer una bomba sobre el regazo de los filósofos. Los residuos tóxicos de esta bomba matemática, sin embargo, fueron incluso más peligroso que los resultante del teorema de la incompletitud. Goedel reaccionó prontamente señalando que si podemos volver a visitar el pasado, entonces éste nunca "pasó". Pero un tiempo que deja de "pasar" no es ningún tipo de tiempo. 

Einstein vio de un golpe que si Goedel tenía razón, no solo había domesticado el tiempo: lo había matado. El tiempo "ese ser misterioso y aparentemente autocontradictorio", como Goedel lo describía, ese tiempo "que, por otro lado, parece formar la bases del mundo y de nuestra existencia", resultó al final ser la mayor de las ilusiones del mundo. En una palabra, si la teoría de la relatividad de Einstein era verdadera, el tiempo mismo era ideal. El padre de la relatividad estaba pasmado. Aunque Einstein alabó a Goedel por su gran contribución a la teoría de la relatividad, estaba completamente consciente de que el tiempo, esa presa elusiva, había vuelto a escaparse de sus redes.

Pero entonces algo verdaderamente sorprendente tuvo lugar: nada. Aunque inmediatamente después de los descubrimientos de Goedel unos pocos físicos se animaran a refutarlo y, fracasado este intento intentaron generalizar y explorar sus resultados, esta breve oleada de interés pronto decayó hasta desaparecer. En pocos años desaparecieron las profundas huellas dejadas en la historia intelectual por los largos paseos a casa de Goedel y Einstein, dispersadas por los hoscos vientos de la moda y del prejuicio filosófico. Una conspiración de silencio descendió sobre la amistad entre Einstein y Goedel y sus consecuencias científicas.

Una asociación no menos destacable que la amistad entre Miguel Ángel y Leonardo -- si ésta hubiera ocurrido -- simplemente se ha perdido de vista. Hasta este día, no solo el hombre de la calle desconoce esta relación íntima entre los dos gigantes del siglo XX sino que incluso las más exhaustivas biografías intelectuales de Einstein omiten toda mención a esta amistad o, en el mejor de los casos, mezquinamente escriben una o dos oraciones sobre ella. Mientras se ha desarrollado toda una industria en búsqueda de Lieserl, la hija que Einstein tuvo fuera de su primer matrimonio, el hijo de la imaginación que naciera de la amistad de Einstein y Goedel, ha sido abandonado.

Solo recientemente este hijo, el Universo Goedel, recibió alguna muestra de reconocimiento. Éste ha provenido del formidable Stephen Hawking. Al volver a visitar el universo rotativo Goedel, Hawking se sintió movido a brindarle el más grande de los cumplidos. Encontró los resultados de Goedel tan amenazadores para la visión del mundo de los sobrios físicos que propuso lo que llega a ser un postulado anti-Goedel. Si es aceptada, la famosa conjetura protectivo-cronológica de Hawking negaría precisamente la contribución de Goedel a la relatividad. Hawking encontró tan físicamente inaceptables las conclusiones de Goedel que se sintió empujado a proponer lo que luce como una modificación ad hoc de las leyes de la naturaleza que tendrían el efecto de descartar el universo Goedel como una genuina posibilidad física.

El intento de Hawking de neutralizar el universo Goedel muestra cuán peligroso es romper la conspiración de silencio que ha velado la conexión Einstein-Goedel. Este misterioso silencio no solo esconde del mundo una de las más conmovedoras y fructíferas amistades en la historia de la ciencia sino que mantiene al mundo rehuyendo las consecuencias verdaderas de la revolución einsteniana. Una cosa es echarse abajo, como lo hizo Einstein, la bicentenaria concepción newtoniana acerca del carácter absoluto e independiente del espacio y del tiempo; otra muy diferente es demostrar que el tiempo no solo es relativo sino ideal. A diferencia de Einstein, un clasicista que siempre buscó la continuidad con el pasado, Goedel era un ironista de corazón, un pensador verdaderamente subversivo. Con su teorema de la incompletitud él había sacudido los cimientos de las matemáticas, acicateando al gran matemático Hilbert a proponer una nueva ley de la lógica solo para refutar los resultados de Goedel. El universo Goedel, correctamente entendido, comparte con su teorema de la incompletitud una metodología y un propósito subyacentes. Es una bomba, construida a partir de los materiales más apreciados por la cosmología y lanzada con elegancia y precisión hacia los cimientos de la física.

En los pasos de Goedel y Einstein, entonces, puede oírse el eco del espíritu de la época, el zeitgeist, una pista que conduce hacia el secreto del grande y terrible siglo XX, un siglo que, como el XVII, bien podrá pasar a la historia como el siglo del genio. Los residentes de Blue Hill, preocupados por la guerra y el enemigo acechando en el mar, se habían equivocado al medir las proporciones de su hombre.
Palle Yougrau es profesor de filosofía en Brandeis University. Este ensayo viene de su nuevo libro, Un mundo sin tiempo: el legado olvidado de Goedel y Einstein, publicado a inicios de 2005.
[1] En los años 1871-1884 Georg Cantor inventó la teoría de los conjuntos infinitos. En ese período Cantor construyó un conjunto que es similar a sí mismo en todas las escalas. Al magnificarse una porción del conjunto, se revela un elemento que es similar al mismo conjunto original. 
Para construir este conjunto, tómese una línea, divídasela en tres y retírese el tercio del medio. Quedan dos segmentos. Tómese ambos y retírese, como en el caso anterior, el tercio situado al medio de cada uno de ellos. Repita este proceso un número infinito de veces. La colección resultante de puntos es llamada un Conjunto Cantor.
El conjunto Cantor es un objeto inusual. El proceso de retirar los segmentos medios produce un infinito conjunto de puntos. Por un lado, los puntos son más numerosos --más "infinitos" -- que los números enteros, dado que uno no puede contarlos. Por otro lado, el conjunto Cantor no es un continuo de puntos como la línea original completa. El conjunto Cantor es algo intermedio. Los puntos del Conjunto Cantor están muy cercanos. Si se escoge cualquier punto, uno podrá encontrar otro punto que está arbitrariamente cercano al escogido.
En los años en que Cantor descubrió estos conjuntos "patológicos" -- para repetir una frase de entonces -- se creía generalmente que ellos eran la más pura forma de la invención matemática y que nunca serían vistos en el mundo natural.
Hoy en día, sabemos que muchos, muchos procesos naturales producen objetos similares a sí mismos. Los conjuntos de Cantor y un más amplio rango de estructuras caracterizadas por la "autosimilaridad" son llamadas ahora "fractales". [Traducción de Desde la otra esquina, de: http://www.exploratorium.edu/complexity/CompLexicon/settheory.html]

[2] En 1931, el matemático y lógico Kurt Goedel demostró que en un sistema formal existen cuestiones que no son demostrables ni indemostrables en base a los axiomas que definen ese sistema. Esto se conoce como el Teorema de Goedel sobre la irresolubilidad. También mostró que en un sistema formal suficientemente complejo en el que se requiera que todas sus afirmaciones sean demostrables, existirá afirmaciones contradictorias. Este es conocido como el Teorema de la Incompletitud.
Al establecer estos teoremas, Goedel demostró que existen problemas que no pueden ser resueltos por ningún conjunto de reglas o procedimientos; más bien, para estos problemas uno debe extender el conjunto de axiomas. Estas afirmaciones acabaron con la creencia común de entonces según la cual las diferentes ramas de las matemáticas podían ser integradas y establecidas sobre una única base lógica.
Alan Turing contribuyó después con una interpretación constructiva de los resultados de Goedel, dándoles a éstos un soporte algorítmico: existen números y funciones que no pueden ser computadas por ninguna máquina lógica.
Más recientmente, Gregory Chaitin, un matemático que trabaja para IBM, ha señalado que los resultados de Goedel y de Turing establecen límites fundamentales sobre las matemáticas.
Estos resultados, junto con los de la incertidumbre cuántica y la impredecibilidad de los sistemas deterministas (caóticos), forman un conjunto básico de limitaciones al conocimiento científico que han sido apreciados solo en este siglo. [Traducción Desde la otra Esquina, de: http://www.exploratorium.edu/complexity/CompLexicon/godel.html

[3] Alan Turing (1912-1954), matemático y teórico computacional, fue arrestado en Manchester, en 1952, por tener relaciones homosexuales. Para no ir a prisión se sometió a un tratamiento hormonal por un año. El contraste entre la importancia de su contribución a la victoria aliada contra los alemanes y la penalidad que se le impuso por su orientación sexual es subrayado por la ironía -- "en recompensa" -- del autor del artículo. Nota del traductor.
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